Dziedzina – dwuznaczne pojęcie matematyczno-logiczne: dziedzina relacji binarnej to zbiór wszystkich poprzedników par (pierwszych elementów pary), należących do danej relacji:
W szczególności dziedzina funkcji to zbiór jej wszystkich argumentów – obiektów, dla których ma określone wartości Domain of definition , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-20].; dla funkcji zbiór oznacza się lub Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-12-22].. Dla tak rozumianej dziedziny funkcji proponowano też nazwę pole, przy czym pole relacji oznacza co innego;
dziedzina funkcji (wyrażenia) to także zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens Dziedzina, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-20].; jest to najszerszy – w sensie inkluzji – podzbiór osi rzeczywistej, który może być dziedziną w pierwszym sensie. Zbiór ten jest też znany jako dziedzina naturalna danego wyrażenia Dawid Migacz, Gdy funkcja jest niewiadomą – równania funkcyjne, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 10 lutego 2022 [dostęp 2023-12-20]. Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Dziedzina naturalna funkcji, Open AGH, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 4 listopada 2015 [dostęp 2023-12-20]. i dla funkcji również oznacza się go . Analogiczne pojęcie dziedziny naturalnej można rozważać dla funkcji zespolonych.
Pierwsze z tych pojęć uogólnia się na relacje wieloczłonowe – dla relacji -członowej definiuje się różnych dziedzin:
Dziedzina funkcji może być węższa niż dziedzina naturalna jej wzoru – por. zawężenie funkcji. Na przykład dla funkcji kwadratu dziedziną naturalną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ale funkcję można też rozważać na przedziale liczb nieujemnych: Własności funkcji mogą zależeć od dziedziny, w której jest rozpatrywana. Podana funkcja zawężona (obcięta) jest różnowartościowa, ale funkcja rozważana w całej dziedzinie naturalnej nie ma już tej własności.
Przykłady Ciągi nieskończone definiuje się jako funkcje, których dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych:
Dziedziny naturalne funkcji elementarnych Dziedziną wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i arcus tangensa może być cała oś rzeczywista lub szerzej: płaszczyzna zespolona. Dla niektórych funkcji wymiernych innych niż wielomiany dziedziną może być cała oś rzeczywista – przykładem jest rozkład Cauchy’ego. Z kolei dziedzina dowolnej homografii nie zawiera co najmniej jednego punktu, przez niemożność dzielenia przez zero. Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą. Za do dla stopnia parzystego, np. pierwiastka kwadratowego, wartości rzeczywiste są przyjmowane tylko dla liczb nieujemnych. Podobnie jest z funkcjami potęgowymi o wykładniku niewymiernym. Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych najszerszą dziedziną jest półoś liczb dodatnich; rozważa się logarytmy z liczb ujemnych, jednak wartości są wtedy zespolone. Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, dla których funkcja tangens nie jest określona; jej dziedziną nie może być np. półprosta. Dwie podstawowe funkcje kołowe – arkus sinus i arkus cosinus – przyjmują wartości rzeczywiste tylko na przedziale domkniętym .
Własności Dziedzina sumy relacji jest sumą ich dziedzin:
Dziedzina przekroju relacji to podzbiór przekroju ich dziedzin:
Dowolna dziedzina różnicy relacji wieloczłonowych to nadzbiór różnic ich dziedzin:
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Ewa Łobos, Wyznaczanie dziedziny funkcji dwóch zmiennych, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2024 [dostęp 2026-01-17]. [dostęp 2023-08-30].
Kategoria:Relacje matematyczne