Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Z punktu widzenia współczesnej matematyki dowód twierdzenia jest stosunkowo prosty, jednak w XIX wieku był on znaczącym krokiem i wymagał zmiany myślenia o algebrze. Przełomu w tej kwestii dokonał Arthur Cayley.

Twierdzenie Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru. W szczególności, każda grupa skończona rzędu zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej .

Dowód Wykażemy, że każda grupa jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji zbioru

Niech będzie dowolnym elementem grupy i niech będzie odwzorowaniem takim, że: gdzie

Odwzorowanie jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem Ponadto dla dowolnego istnieje element taki, że Takim elementem jest Czyli jest przekształceniem grupy na siebie, tzn.

Zauważmy jeszcze, że dla zachodzi dla dowolnego

Stąd i zbiór odwzorowań jest grupą, w której jest elementem neutralnym oraz

Określmy teraz odwzorowanie w następujący sposób: dla

Jest ono iniektywne, bowiem a z udowodnionej wcześniej własności wynika, że jest homomorfizmem, bo

Stąd jest zanurzeniem izomorficznym grupy w grupę q.e.d.

Zdefiniowany w dowodzie izomorfizm nazywa się niekiedy reprezentacją regularną Powyższe rozumowanie jest dowodem na to, że działanie grupy na sobie przez mnożenie z lewej strony jest wierne.

Historia Burnside przypisuje to twierdzenie Jordanowi, jednak Eric Nummela uważa, że nazwa twierdzenie Cayleya jest właściwsza. Dziś sens twierdzenia wydaje się oczywisty, jednak to dopiero Cayleyowi udało się zunifikować dwa różne – jak wówczas uważano – pojęcia, tzn. pojęcie grupy i pojęcie grupy permutacji. Mimo że sam Cayley w swojej pracy nie wykazał homomorfizmu, jego zasługi w upowszechnieniu tych pojęć na 16 lat przed Jordanem są niepodważalne.

Przypisy

Bibliografia A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.

Cayleya Kategoria:Podgrupy