Twierdzenie Cayleya – twierdzenie mówiące, że dowolna abstrakcyjna, aksjomatycznie zdefiniowana grupa jest izomorficzna z pewną grupą przekształceń pewnego zbioru; innymi słowy, jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji tego zbioru. Twierdzenie to pozwala przełożyć wszystkie wyniki dotyczące podgrup grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne. Z punktu widzenia współczesnej matematyki dowód twierdzenia jest stosunkowo prosty, jednak w XIX wieku był on znaczącym krokiem i wymagał zmiany myślenia o algebrze. Przełomu w tej kwestii dokonał Arthur Cayley.
Twierdzenie Każda grupa zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej pewnego zbioru. W szczególności, każda grupa skończona rzędu zanurza się izomorficznie w grupie symetrycznej .
Dowód Wykażemy, że każda grupa jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy permutacji zbioru
Niech będzie dowolnym elementem grupy i niech będzie odwzorowaniem takim, że: gdzie
Odwzorowanie jest przekształceniem różnowartościowym, bowiem Ponadto dla dowolnego istnieje element taki, że Takim elementem jest Czyli jest przekształceniem grupy na siebie, tzn.