Ideał pierwszy – taki ideał właściwy pierścienia przemiennego z jedynką, dla którego z należenia do niego iloczynu dwóch danych elementów pierścienia wynika przynależność do niego choć jednego z czynników, tzn. ideał pierścienia nazywany jest pierwszym, gdy z należenia wynika, że lub

Ideały pierwsze to w pewnym sensie te ideały, dla których zachodzi teza lematu Euklidesa o podzielności liczb całkowitych, tzn. odgrywają one rolę liczb pierwszych w teorii pierścieni. Pojęcie ideału pierwszego znajduje zastosowania w geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Z danym pierścieniem przemiennym z jedynką można w naturalny sposób stowarzyszyć pewną przestrzeń topologiczną, której punktami są ideały pierwsze, a zbiorami domkniętymi są zbiory wszystkich ideałów pierwszych zawierających ustalony podzbiór pierścienia. Przestrzeń ta nazywana jest spektrum pierwszym pierścienia i oznaczana symbolem Spec .

Właściwości Ideał pierścienia jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie zawiera dzielników zera, czyli jest dziedziną całkowitości. Każdy ideał maksymalny pierścienia przemiennego z jedynką jest jego ideałem pierwszym. Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy. Przeciwobraz ideału pierwszego w homomorfizmie pierścieni jest ideałem pierwszym. Pierścień przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub równoważnie: gdy ideał zerowy jest maksymalny). W (nietrywialnym) pierścieniu przemiennym z jedynką każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Jeśli pierścień jest skończony, to pojęcia ideału pierwszego i maksymalnego się pokrywają. Każdy ideał pierwszy zawiera pewien minimalny ideał pierwszy. Dowód polega na zastosowaniu lematu Kuratowskiego-Zorna do rodziny wszystkich niezerowych ideałów zawartych w danym ideale pierwszym, uporządkowanej przez relację odwróconej inkluzji.

Przykłady W pierścieniu wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych ideał generowany przez wielomian jest pierwszy. W pierścieniu wielomianów o współczynnikach całkowitych jest ideałem pierwszym. Składa się on ze wszystkich wielomianów, których wyraz wolny jest parzysty. W pierścieniu wielomianów nad ciałem ideałami pierwszymi są ideały główne generowane przez wielomiany nierozkładalne.

Zobacz też ideał maksymalny ideał prymarny

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Prime ideal , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05]. Prime ideal(2) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].

Kategoria:Podzbiory pierścieni