Grupa rozwiązalna – grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).
Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia:
Definicja Grupa jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup
takich, że dla każdego są spełnione warunki: jest podgrupą normalną grupa ilorazowa jest abelowa.
Warunki równoważne Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek: Grupa jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby
gdzie oznacza -tą pochodną grupy Najmniejszą taką liczbę nazywa się stopniem rozwiązalności grupy
Jeżeli grupa jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy są grupami cyklicznymi rzędu będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.
Własności Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna. Jeśli i grupa jest rozwiązalna, to iloraz również jest grupą rozwiązalną. Jeżeli oraz grupy i są rozwiązalne, to również jest grupą rozwiązalną. Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną. Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.
Przykłady Każda grupa abelowa jest rozwiązalna. Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne. p-grupy są rozwiązalne. Grupa permutacji Sn jest rozwiązalna dla i nie jest rozwiązalna dla Grupa alternująca jest nieabelową grupą rozwiązalną. gdzie oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz ponadto skąd jest rozwiązalna. Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca Każda nieabelowa grupa prosta nie jest rozwiązalna, ponieważ a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.
Twierdzenia Twierdzenie Feita-Thompsona Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Twierdzenie Burnside’a Każda grupa rzędu jest rozwiązalna, gdzie są liczbami pierwszymi, a – nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-23]. Solvable group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
R