mały|Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole dowolnego trójkąta, korzystając wyłącznie z długości jego boków:

gdzie: to pole powierzchni; i to długości boków; to półobwód:

Ta metoda obliczania pól była znana już Archimedesowi. Mimo to nazwa pochodzi od Herona z Aleksandrii, który opisał ją w swoim dziele Metryka.

Dziedzina funkcji Wzór Herona da się też stosować do niektórych trójek liczb, które nie spełniają nierówności trójkąta – czyli kiedy odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. Jeśli wszystkie trzy odcinki leżą na jednej prostej, to wzór Herona pokazuje, że pole powierzchni jest zerowe:

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. to wartość co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc

Dowód wzoru Wzór Herona da się uzasadnić innym wzorem na pole trójkąta:

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:

oznacza połowę obwodu trójkąta, więc

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona. , q.e.d.

Inne postacie Wyznacznikowa .

Z wykorzystaniem wysokości Jeśli są wysokościami trójkąta o bokach odpowiednio to Podstawienie tych wzorów do wzoru Herona daje: .

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości wpisanego w okrąg:

gdzie:

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

gdzie to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg obie te sumy są sobie równe i wynoszą 180°.

Wzór Herona jest szczególnym przypadkiem wzoru Brahmagupty dla : .

Przypisy

Linki zewnętrzne Geometria – wzór Herona, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].

Kategoria:Twierdzenia o trójkącie