Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Niech będzie przestrzenią Hilberta, zaś będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas
gdzie oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni
Dowód
Ponieważ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnejNiech będzie ciągiem w wtedy z definicji skąd z domkniętości zatem jest zupełna., to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu gwarantuje istnienie jedynego elementu który leży najbliżej Wówczas:
Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element tj. a co za tym idzie (przestrzeń jest generowana przez ); ponadto jeżeli to co zachodzi tylko dla Z definicji jest zbiorem tych elementów które są ortogonalne do każdego elementu zbioru jeżeli należy również do to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj. Warunek ten można zapisać w postaci gdzie oznacza iloczyn skalarny przestrzeni co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla , a zatem stąd też jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego
Element nazywany też bywa elementem najlepiej aproksymującym ew. rzutem na i oznaczany bywa ew.
Lemat Niech będzie przestrzenią unitarną z normą indukowaną z iloczynu skalarnego zaś będzie zupełną podprzestrzenią liniową w Wówczas jest rzutem na wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Konieczność. Niech będzie rzutem na i niech Niech teraz oraz
Skoro jest najlepszym przybliżeniem należącym do to
gdzie oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej zaś to jej sprzężenie zespolone.
Otrzymana nierówność oznacza, iż a stąd także Tzn.
Dostateczność. Niech oraz Niech dalej Ponieważ jest podprzestrzenią liniową, to skąd Wobec tego:
co oznacza, że jest najbliżej położonym punktem przestrzeni punktu .
Uwagi
Bibliografia
o rzucie ortogonalnym