Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Niech będzie przestrzenią Hilberta, zaś będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas
gdzie oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni
Dowód
Ponieważ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnejNiech będzie ciągiem w wtedy z definicji skąd z domkniętości zatem jest zupełna., to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu gwarantuje istnienie jedynego elementu który leży najbliżej Wówczas:
Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element tj. a co za tym idzie (przestrzeń jest generowana przez );