thumb|Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji na przedziale jest pole powierzchni obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.
Całka Riemanna – pojęcie analizy matematycznej, zaliczane do całek oznaczonych, pozwalające całkować niektóre funkcje nieciągłe.
Nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna, który przedstawił tę koncepcję w 1854 roku w swojej pracy habilitacyjnej pt. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) na Uniwersytecie w Getyndze. Była to pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).
Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całkiW przeciwieństwie np. do całki Lebesgue’a, czy całki Henstocka-Kurzweila (zob. Uogólnienia), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego (por. twierdzenia Lebesgue’a i lemat Fatou)., co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.
W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to operator przypisujący danej rzeczywistej funkcji ograniczonej określonej na przedziale (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako pole powierzchni między jej wykresem a osią odciętych (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. miary Jordana wspomnianego obszaru (zob. Związek z miarą Jordana). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru, co opisano w osobnej sekcji.
Konstrukcje thumb|Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.
Podział przedziału Podziałem przedziału nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn. W każdym z podprzedziałów podziału można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział z punktami pośrednimi przedziału można zdefiniować jako ciąg skończony dla którego oraz dla Każda para „sąsiednich” punktów podziału wyznacza podprzedział o długości dla
Podział rozdrabnia (lub zagęszcza) podział jeżeli podział jest podciągiem podziału tzn. dla każdego można wybrać tak, że Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału przez podział z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego można było tak wybrać by oraz
Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału nazywa się największą długość przedziału, Ciąg podziałów nazywa się normalnym, jeżeli dla
Całka Darboux thumb|Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów. Niech dana będzie funkcja ograniczona Kresy dolny i górny funkcji w danym podprzedziale podziału przedziału oznaczane będą odpowiednio symbolami
różnicę tych liczb
nazywa się oscylacją funkcji na przedziale
Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby
Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji jako odpowiednio
oraz
O funkcji mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli wówczas tę wspólną wartość całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.
Całka Riemanna thumb|Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie). Niech dana będzie funkcja ograniczona Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę
Funkcję nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granicaJeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech oraz będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału Ciąg podziałów zdefiniowany jako jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów i granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc
nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taka liczba rzeczywista że dla dowolnego podziału o średnicy bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje taki podział przedziału że dla każdego podziału rozdrabniającego zachodzi
Funkcję nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę jej całką Riemanna.
Równoważność thumb|Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się. Jeżeli jest rozdrobnieniem to oraz Jeżeli są dwoma podziałami przedziału to istnieją ich rozdrobnienia (podział złożony z punktów i ), mamy więc skąd
Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi i odpowiadającego mu podziału bez punktów pośrednich odcinka zachodzi
więcej, są to kresy dolne i górne wartości odpowiadającej podziałowi z dowolnymi punktami pośrednimiNiech wyznaczając tak, by otrzymuje się
co z dowolności oraz oszacowania pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że jest kresem dolnym .
Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. to istnieje również tak więc
dla dowolnego podziału pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.
Oznaczenia thumb|Różne warianty typograficzne znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów. Symbol całki powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”)Zob. również tzw. „esz” ʃ. używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji całki Darboux górną i dolną oznacza się zwykle odpowiednio symbolami
zaś samą całkę Darboux oraz całkę Riemanna dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,
Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:
Własności thumb|Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji. Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej gdzie będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:
WówczasDla dowolnego podziału oraz dowolnej sumy zachodzi zatem gdyż
skąd teżWynika wprost z powyższego na mocy nierówności
zaś dla funkcji spełniającej dla wszystkich zachodziWynika wprost z powyższego, gdyż
Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli są R-całkowalne oraz to funkcja również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodziAddytywność wynika stąd, iż dla ustalonego podziału zachodzi równość sum częściowych która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji oraz sumą całek Riemanna z funkcji i Podobnie dowodzi się jednorodności
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Jeśli jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na dla dowolnego a funkcja dana wzorem
jest ciągła na i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji
Twierdzenie Newtona-Leibniza Jeśli jest ciągła, a jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza,
Wyprowadzenie wzoru
Pole powierzchni zawarte pomiędzy wykresem funkcji a osią odciętych na przedziale dzielimy na równych części, przy czym jest nieskończenie duże, czyli . W ten sposób przedział zostaje podzielony na ciąg złożony z nieskończenie małych odcinków, z których każdy ma tę samą szerokość równą różniczce . Współrzędne tych odcinków tworzą ciąg: , przy czym . Wynika stąd, że:
W rezultacie otrzymujemy nieskończenie cienkie prostokąty o wymiarach dla będące kolejnymi różniczkami pola powierzchni. Definicja pochodnej funkcji w punkcie :
Dzieląc przedział funkcji identycznie, jak dla funkcji , powyższą definicję można zapisać następująco:
Funkcja pierwotna funkcji to taka funkcja , której pochodną jest funkcja .
Wynika stąd, że:
Całkowite pole powierzchni jest więc równe sumie pól powierzchni wszystkich otrzymanych prostokątów.
Podkreślone wyrazy, czyli różniczki , upraszczają się.
Podkreślone wyrazy upraszczają się. Nietrudno jest zorientować się, że tym sposobem uproszczą się wszystkie wyrazy, za wyjątkiem i . Ostatecznie pole powierzchni jest więc równe:
W ten sposób otrzymujemy wzór Newtona-Leibniza.
Charakteryzacja funkcji całkowalnych
Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja Każda funkcja ciągła jest całkowalnaFunkcja jest jednostajnie ciągła (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego istnieje podział odcinka o oscylacjach stąd zatem funkcja jest D-całkowalna.; podobnie, gdy jest monotonicznaNiech dla ustalenia uwagi funkcja będzie niemalejąca; jeśli jest podziałem spełniającym dla dowolnie wybranego to
czyli
skąd wynika D-całkowalność funkcji .