Rodzina indeksowana, układ indeksowany lub po prostu układ – zestaw elementów oznaczonych indeksami; uogólnienie pojęcia ciągu na funkcje określone na dowolnych, nawet nieprzeliczalnych, zbiorach indeksów. Bardziej formalnie, rodzina indeksowana to funkcja odzworowująca dziedzinę (zbiór indeksów) w obraz (zbiór indeksowany).

Przykłady: Układ liczb rzeczywistych indeksowany liczbami całkowitymi to zbiór liczb rzeczywistych, gdzie każda liczba całkowita jest powiązana z jedną liczbą rzeczywistą. Rodzina prostych (będących zbiorami) indeksowana liczbami naturalnymi to zbiór prostych, gdzie każda liczba naturalna ma przypisaną do niej prostą.

Definicja

Układem lub rodziną elementów zbioru indeksowaną przez (o indeksach/wskaźnikach ze zbioru) nazywa się funkcję Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 86–87. oznaczaną symbolami bądź obrazy oznacza się zwyczajowo .

Dowolny zbiór można w naturalny sposób przekształcić w rodzinę indeksowaną elementami tego zbioru. W szczególności: gdy to można wyróżnić związany z tym zbiorem układ elementów .

Elementy zbioru same mogą być zbiorami, wówczas mówi się o rodzinach zbiorów indeksowanych przez Wtedy funkcja odwzorowuje zbiór indeksów w zbiór potęgowy pewnego zbioru

Rodzinę/układ nazywa się podrodziną/podukładem rodziny/układu gdy oraz dla każdego .

Przykłady Niech oznacza zbiór skończony ( oznacza dodatnią liczbę całkowitą). Wówczas: para uporządkowana to układ/rodzina indeksowana o wskaźnikach ze zbioru dwuelementowego n-tka to rodzina indeksowana przez ciąg nieskończony to układ/rodzina indeksowana liczbami naturalnymi, macierz typu to rodzina indeksowana iloczynem kartezjańskim sieć to rodzina zbiorów indeksowana przez zbiór skierowany.

Rodzina a zbiór Funkcje „na” (surjektywne) i rodziny indeksowane są formalnie równoważne – każda funkcja zadaje rodzinę Ponadto rodzina indeksowana zawiera element dokładnie raz wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadająca jej funkcja jest różnowartościowa (iniektywna).

Ponieważ przynależność elementu do rodziny indeksowanej jest równoważna przynależności elementu do obrazu odpowiadającej jej funkcji, to w praktyce rodzinę indeksowaną niejednokrotnie traktuje się nie jako funkcję, lecz jako zbiór czyli obraz w którym elementy dla utożsamiane są z elementami zbioru Gleichgewicht obrazuje to następująco: gdy układ jest ciągiem, to podukład jest podciągiem; a gdy jest zbiorem, podukład jest podzbiorem.

Podejście takie może jednak prowadzić do niejasności: utożsamienie rodziny indeksowanej zbiorów z jej obrazem powoduje, że oddzielne koncepcyjnie od siebie pojęcia rodziny zbiorów (będącej synonimem „zbioru zbiorów”) i rodziny indeksowanej zbiorów są tożsame; w ten sposób zostaje utracona informacja o wielokrotnym występowaniu zbiorów, czy strukturze

Notacja wskaźnikowa Jeżeli tylko stosowana notacja wskaźnikowa, indeksowane obiekty tworzą rodzinę. Niech dane będzie zdanie: Wektory są liniowo niezależne.

Tutaj oznacza rodzinę wektorów. Wskazanie na -ty wektor ma sens wyłącznie w odniesieniu do tej rodziny, ponieważ zbiory są nieuporządkowane i nie istnieje -ty wektor zbioru. Co więcej liniowa niezależność definiowana jest wyłącznie jako własność zbioru; istotne jest więc, czy wektory są liniowo niezależne jako zbiór, czy jako rodzina.

Dla oraz zbiór złożony z wyłącznie jednego elementu jest liniowo niezależny, jednak rodzina zawierająca ten sam element dwukrotnie jest liniowo zależna.

Macierze Jeżeli tekst zawiera następujące stwierdzenie: Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze są liniowo niezależne;

to podobnie jak wyżej istotne jest, że wiersze są liniowo niezależne jako rodzina, a nie jako zbiór. Jeśli dana jest macierz

to zbiór jej wierszy składa się tylko z jednego elementu co oznacza, że jest on liniowo niezależny – mimo wszystko macierz nie jest odwracalna; z kolei rodzina wierszy zawiera dwa elementy, które są liniowo zależne. Tak więc zdanie jest prawdziwe, gdy odnosi się do rodziny wierszy i fałszywe, gdy odnosi się do zbioru wierszy.

Działania Ze zbiorów indeksowanych korzysta się często do zapisu sumowania i innych, podobnych działań. Przykładowo, jeżeli jest rodziną liczb, to sumę wszystkich tych liczb oznacza się symbolem

Sumę rodziny zbiorów oznacza się analogicznie:

Podobnie ma się rzecz z przekrojami i iloczynami kartezjańskimi.

Uogólnienia

Analogiczny pomysł z teorii kategorii nazywa się diagramem: diagram to funktor uogólniający rodzinę indeksowaną obiektów kategorii indeksowany przez inną kategorię

Zobacz też koprodukt rekord z wariantami rodzina parametryzowana suma rozłączna tablica

Literatura Japońskie Towarzystwo Matematyczne, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, wyd. II, 2 tomy, Kiyosi Itô (red.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993; cytowane jako EDM (tom).

Przypisy

Kategoria:Rodziny zbiorów