Całkowa nierówność Jensena jest użyteczną i bardzo ogólną relacją dotyczącą funkcji wypukłych, matematyka Johana Jensena, którego dowód podał w 1906 roku. Można go zapisać na dwa sposoby: dyskretny lub całkowy. Pojawia się w szczególności w analizie, teorii pomiaru i prawdopodobieństwie (twierdzenie Rao-Blackwella), ale także w fizyce statystycznej, mechanice kwantowej i teorii informacji (pod nazwą nierówność Gibbsa).
Definicja Niech: będzie funkcją wypukłą; będzie zbiorem o dodatniej mierze; oznacza miarę zbioru będzie funkcją całkowalną.
Wówczas zachodzi nierówność:
Dowód Ponieważ jest funkcją wypukłą, to na mocy twierdzenia o hiperpłaszczyźnie podpierającej:
Zatem podstawiając oraz nierówność w zdaniu przekształca się do postaci:
Następnie całkując stronami względem po zbiorze i na mocy zależności oraz
Bibliografia Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.
J