Kompleksem de Rhama w przestrzeni nazywamy kompleks łańcuchowy

gdzie: jest -modułem q-form różniczkowych

dla każdego jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w zamknięte formy postaci

należy rozwiązać równanie różniczkowe

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

gdzie jest obszarem w a – jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni można rozważać przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych

Uściślenie definicji Algebra form różniczkowych Niech będą współrzędnymi w Niech będzie algebrą nad ciałem generowaną symbolami i o działaniu dla których spełnione są dwie zależności:

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem algebra ma bazę:

dla dla ...,

Algebrą jest algebra gdzie jest algebrą funkcji gładkich na

Elementy algebry nazywamy formami różniczkowalnymi na

Jeżeli to formę można przedstawić jednoznacznie w postaci, tłum. ros. 1989, s. 21.: gdzie a

Jeśli dla każdego składnika sumy liczba q jest stała, to formę nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

gdzie jest modułem nad pierścieniem Można to także zapisać

W module określona jest gradacja

Operator d różniczkowania form różniczkowych Operator różniczkowania form różniczkowych

jest określony w następujący sposóbBott, Tu, op. cit., tłum. ros., 1989, s. 21–22.: Jeśli to Jeśli to

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości

Własności operatora d Jeśli to

dowodzi się tej równości w dwóch etapach dla funkcji gdzie współczynniki są symetryczne, a iloczyny są antysymetryczne, bo skąd dla form mamy

Przykłady Jeśli to Dla przypadku przestrzeni moduły i mają rangę 1 nad Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:

a konkretnie

Dla przypadku przestrzeni moduły i mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:

a konkretnie

W przestrzeni trójwymiarowej Dla funkcji f forma jest gradientem. Dla 1-formy forma jest rotacją. Dla 2-formy forma jest dywergencją.

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Analiza matematyczna