Zamiast przestrzeni można rozważać przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych

Uściślenie definicji Algebra form różniczkowych Niech będą współrzędnymi w Niech będzie algebrą nad ciałem generowaną symbolami i o działaniu dla których spełnione są dwie zależności:

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem algebra ma bazę:

dla dla ...,

Algebrą jest algebra gdzie jest algebrą funkcji gładkich na

Elementy algebry nazywamy formami różniczkowalnymi na

Jeżeli to formę można przedstawić jednoznacznie w postaci, tłum. ros. 1989, s. 21.: gdzie a

Jeśli dla każdego składnika sumy liczba q jest stała, to formę nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

gdzie jest modułem nad pierścieniem Można to także zapisać

W module określona jest gradacja

Operator d różniczkowania form różniczkowych Operator różniczkowania form różniczkowych

jest określony w następujący sposóbBott, Tu, op. cit., tłum. ros., 1989, s. 21–22.: Jeśli to Jeśli to

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta.