Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sformułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.
Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus.
Jednakowa ciągłość Dalej i oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera istnieje takie otoczenie zera że
dla każdego W przypadku gdy i są przestrzeniami unormowanymi, to rodzina jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy
Twierdzenie Banacha-Steinhausa Niech będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni w przestrzeń Jeżeli zbiór
jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni to jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór jest całą przestrzenią.
Wnioski Twierdzenie Baire’a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeżeli jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu przestrzeni zbiór jest ograniczony, to jest rodziną jednakowo ciągłą. Jeżeli jest F-przestrzenią oraz jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni i o wartościach w przestrzeni który jest punktowo zbieżny do przekształcenia to przekształcenie jest operatorem liniowym i ciągłym. Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).
Przypisy
Bibliografia
Banacha-Steinhausa