Twierdzenie Parsevala – tożsamość, która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799. roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela.

Opis twierdzenia Parsevala Jeżeli funkcje i całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera

oraz

to zachodzi równość

gdzie oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za jest podstawione .

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

gdzie przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z a przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

gdzie jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z a oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

gdzie to DFT z oraz obie tablice są o długości

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Parseval equality , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

Kategoria:Twierdzenia analizy harmonicznej Kategoria:Twierdzenia o szeregach funkcyjnych