Szereg Dirichleta jest dowolnym szeregiem postaci:
gdzie: jest liczbą zespoloną; jest ciągiem o wartościach zespolonych.
Szerg Dirichleta odgrywa ważną rolę w analitycznej teorii liczb. Najczęściej spotykana definicja funkcji dzeta Riemanna jest szeregiem Dirichleta, podobnie jak L-funkcje Dirichleta. Przypuszcza się, że klasa Selberga szeregu zachowuje się zgodnie z Uogólnioną Hipotezą Riemanna. Szereg jest nazwany ku czci Petera Gustava Lejeune’a Dirichleta.
Jest to szczególny przypadek ogólnego szeregu Dirichleta.
Zastosowanie w kombinatoryce Szereg Dirichleta może zostać wykorzystany jako funkcja tworząca do zliczania ważonych zbiorów obiektów z uwzględnieniem wag.
Załóżmy, że jest zbiorem z funkcją przypisującą wagę każdemu elementowi załóżmy także, że włóknem nad każdą liczbą naturalną w tej wadze jest zbiór skończony. Nazwijmy taką parę zbiorem ważonym. Załóżmy dodatkowo, że jest liczbą elementów o wadze Wówczas możemy zdefiniować formalny szereg Dirichleta będący funkcją tworzącą dla z uwzględnieniem w następujący sposób:
Zauważmy, że jeśli i są rozłącznymi podzbiorami pewnego zbioru ważonego to szereg Dirichleta dla ich sumy mnogościowej jest równy sumie ich szeregów Dirichleta:
Ponadto, jeśli i są dwoma zbiorami ważonymi i zdefiniujemy funkcję wagi jako
dla każdego należącego do i dla każdego należącego do otrzymamy następujący rozkład szeregu Dirichleta z iloczynu kartezjańskiego:
Wynika to bezpośrednio z faktu, że
Bibliografia Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, , MR 0434929, Zbl 0335.10001 Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet’s series. Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge University Press. The general theory of Dirichlet’s series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Wznowienie} Cornell University Library Digital Collections Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). A catalogue of interesting Dirichlet series. Miss. J. Math. Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 math.NT. Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics Cambridge University Press. . Zbl 0831.11001.
Linki zewnętrzne Dirichlet series na stronie PlanetMath.org. Dirichlet series , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Matematyka dyskretna Kategoria:Kombinatoryka Kategoria:Szeregi