Zbiór miary zero Christensena – uogólnienia pojęcia zbioru miary zero w sensie miary Haara na lokalnie zwartej grupie topologicznej na podzbiory grup polskich. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1972 roku przez J. ChristensenaJ.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups. Proceedings of the International Symposium on Partial Differential Equations and the Geometry of Normed Linear Spaces (Jerusalem, 1972). „Israel J. Math.” 13 (1972), s. 255–260 (1973). oraz niezależnie przez B.R. Hunta, T. Sauera i J.A. Yorke’aB.R. Hunt, T. Sauer and J.A. Yorke, James, Prevalence: a translation invariant „almost every” on infinite-dimensional spaces. „Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)” 27 (1992), no. 2, s. 217–238..
Definicja Niech będzie grupą polską. Podzbiór nazywany jest zbiorem miary zero Christensena, gdy istnieje taki zbiór borelowski oraz taka borelowska miara probabilistyczna na że dla wszelkich elementów
Uwagi D. Fremlin pytał czy można pominąć w definicji dobór zbioru tj. żądać by tylko dla wszelkich elementów by dostać tę samą klasę zbiorów. Elekes i Sterpāns wykazali, że odpowiedź na powyższe pytanie jest negatywnaM. Elekes, J. Steprāns, Haar null sets and the consistent reflection of nonmeagreness, „Canad. J. Math.” 66 (2014), s. 303–322. Christensen udowodnił, że jeżeli jest metryzowalną grupą lokalnie zwartą, to podzbiór jest zbiorem miary zero Christensena wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza miarę Haara na Rodzina wszystkich podzbiorów miary zero Christensena danej grupy polskiej tworzy σ-ideał podzbiorów zbioru tj. podzbiór zbioru miary zero Christensena oraz suma przeliczalnie wielu zbiorów miary zero Christensena również mają tę własność. Solecki udowodnił, że ów σ-ideał ma własność ccc, tj. każda rodzina parami rozłącznych zbiorów spoza ideału jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy dana grupa polska jest lokalnie zwartaS. Solecki, On Haar null sets, „Fund. Math.” 149 (1996), s. 205–210..
Przykłady Hunt udowodnił, że podzbiór przestrzeni Banacha złożonej z wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych określonych na przedziale [0,1] z normą supremum (rozważanej jako przemienna grupa polska) złożony z tych funkcji, które mają pochodną w przynajmniej jednym punkcie jest zbiorem miary zero ChristensenaB.R. Hunt, The prevalence of continuous nowhere differentiable functions, „Proc. Amer. Math. Soc.” 122 (1994), no. 3, s. 711–717.. (Banach wykazał, że zbiór ten jest również pierwszej kategorii).
Przypisy
Kategoria:Grupy topologiczne Kategoria:Teoria miary