Ciało ułamków pierścienia całkowitego – ciało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznieBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 334.. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbioru multyplikatywnego czyli na dziedzinie całkowitości.
Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego lub ciałem ułamków dziedziny całkowitościJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 195, Definicja 133..
Konstrukcja Mając daną dziedzinę całkowitości konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze określa się następującą relację: Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 334, Twierdzenie 17.1 – Dowód..
Relacja jest: zwrotna, ponieważ: symetryczna, ponieważ: przechodnia, ponieważ: .
Zatem jest to relacja równoważnościJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 195, z. 754..
Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji ) następująco: Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 335, Twierdzenie 17.1 – Dowód.,
ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji: Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 196, z. 755..
Powstała struktura wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałemBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 336, Twierdzenie 17.1. – Dowód.Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 756. i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ; s. 336..
Ułamki Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę zapisuje się zwyczajowo jako Edupedia, Ciało ułamków., przy czym liczbę nazywa się licznikiem, a – mianownikiem.
Zanurzenie izomorficzne Zdefiniujmy funkcję następująco: gdzie jest jedynką pierścieniaJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 757..
Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia w ciało ułamków. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości z odpowiednimi ułamkami ciała .
Przykłady Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych . Ciało ułamków pierścienia jest izomorficzne z ciałem Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 338, Zadanie 17.2.Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 768.Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, , s. 176, z. 1.. Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych Gaussa jest izomorficzne z ciałem Gaussa Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 338, Zadanie 17.1.Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 292, Zadanie 15.5.Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 769.. Ciało ułamków pierścienia wielomianów stanowiącego dziedzinę całkowitości jest izomorficzne z ciałem wyrażeń wymiernychPierre Antoine Grillet, Abstract algebra, 2007 s. 124.Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, , s. 175, Przykład.. W szczególności, ciało ułamków pierścienia wielomianów rzeczywistych jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych rzeczywistych. Ciała ułamków pierścienia wielomianów całkowitych i pierścienia wielomianów wymiernych są izomorficzneJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 195–196, Przykład 110..
Twierdzenia Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków równieżBolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 337, Twierdzenie 17.2.Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 766.. Ciało ułamków dowolnego ciała jest izomorficzne z ciałem Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 197, z. 765.. Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścieniaJerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, , s. 198, z. 755.. Ciało ułamków dziedziny całkowitości to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień .
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Field of fractions , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Rodzaje ciał Kategoria:Teoria pierścieni Kategoria:Relacje równoważności Kategoria:Ułamki