Kryterium Kummera (albo kryterium Diniego-Kummera) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1835E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184. przez Ernsta Kummera. W 1867 Ulisse Dini opuścił założenie (zob. wypowiedź kryterium niżej), którego używał Kummer w swojej pracy. Inny dowód kryterium Kummera podał w 1994 Jingcheng TongJ. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452..

Kryterium Niech dany będzie szereg

o wyrazach dodatnich oraz niech będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

Niech ponadto

Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność

to szereg jest zbieżny.

Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność

to szereg jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium Kryterium Kummera można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy .

W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera Kryterium d’Alemberta Niech dla wszelkich Wówczas

Jeżeli ciąg

jest zbieżny do pewnego to również ciąg jest zbieżny oraz Jeżeli to a więc szereg jest zbieżny. Jeżeli to a wówczas szereg jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’Alemberta.

Kryterium Raabego Z rozbieżności szeregu harmonicznego

wynika, że ciąg spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

gdzie jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium Raabego.

Dowód W przypadku, gdy dla prawie wszystkich spełniona jest nierówność dla tych samych zachodzi także

Stąd

a zatem

Ciąg maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg

jest zbieżny, bo jego -ta suma częściowa wynosi a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu

a więc i także samego szeregu .

W przypadku, gdy dla prawie wszystkich dla tych zachodzi nierówność

Z rozbieżności szeregu wynika wówczas rozbieżność szeregu .

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Kummer criterion , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].

Kummera