Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy .
W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.
Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera Kryterium d’Alemberta Niech dla wszelkich Wówczas
Jeżeli ciąg
jest zbieżny do pewnego to również ciąg jest zbieżny oraz Jeżeli to a więc szereg jest zbieżny. Jeżeli to a wówczas szereg jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’Alemberta.
Kryterium Raabego Z rozbieżności szeregu harmonicznego
wynika, że ciąg spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas
gdzie jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium Raabego.
Dowód W przypadku, gdy dla prawie wszystkich spełniona jest nierówność dla tych samych zachodzi także
Stąd
a zatem
Ciąg maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg
jest zbieżny, bo jego -ta suma częściowa wynosi a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu
a więc i także samego szeregu .
W przypadku, gdy dla prawie wszystkich dla tych zachodzi nierówność
Z rozbieżności szeregu wynika wówczas rozbieżność szeregu .
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-15]. Kummer criterion , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kummera