mały|Metaforyczne (ale precyzyjne) przedstawienie funkcji jako maszyny, która przekształca dany element ze zbioru , na pewien element ze zbioru . mały|Diagram przedstawiający funkcję: każdemu elementowi zbioru przyporządkowano (strzałką) dokładnie jeden element zbioru . Funkcja ( „odbywanie, wykonywanie, czynność”Od „wykonać, wypełnić, zwolnić”.), odwzorowanie, przekształcenie, transformacja ze zbioru do zbioru która każdemu elementowi zbioru przypisuje (odwzorowuje) dokładnie jeden element zbioru .
Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki i innych nauk ścisłych oraz stosowanych, o szerokich zastosowaniach w działalności człowieka na wielu polach.
Formalna definicja Funkcja to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów: dziedziny będącej dowolnym zbiorem (którego elementy nazywamy argumentami funkcji), przeciwdziedziny również będącej dowolnym zbiorem (którego elementy nazywamy wartościami funkcji), wykresu będącym zbiorem par, takim że
Wyjaśnienie Wykres to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu z istnieje dokładnie jeden z taki że para znajduje się w zbiorze (czyli każdemu jest przyporządkowany dokładnie jeden a razem stanowią parę która jest „punktem” z wykresu funkcji).
Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja staje się zbiorem.
Powyższa definicja nazywana jest definicją Bourbakiego (wprowadzoną w 1954 r.), a jej odmianą zredukowaną tylko do wykresu (tj. ), również powszechnie używaną jest definicja Peana.
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Przykład
Niech dziedzina będzie zbiorem składającym się z trzech liczb tj. , przedziwdziedzina zbiorem składającym się z czterech liter tj. . Niech wykres funkcji będzie następującym zbiorem . Wówczas możemy zapisać formalnie funkcję jak następującą trójkę zbiorów:
Na obrazku poniżej znajduje się przedstawienie trzech elementów powyższej funkcji czyli zbiorów . W celach poglądowych, elmenty z i tworzące pary w zbiorze połączono szarymi strzałkami.
frameless|500px|centruj|Przedstawienie trzech elementów funkcji: dziedziny X, przeciwdziedziny Y oraz wykresu W. W celach poglądowych nasieniono szare strzałki obrazujące pary zawarte w W
W świetle formalnej definicji funkcji, zwróćmy uwagę że każdy element z dziedziny musi znajdować się w dokładnie jednej parze (jako jej pierwszy element) w zbiorze tzn. patrząc na obrazek, z każdego elementu należącego do zbioru musi wychodzić dokładnie jedna szara strzałka (do jakiegoś elementu z ), jeżeli z jakiegoś elementu w nie wychodziła by żadna strzałka (nie miał by pary) albo wychodziły by dwie strzałki lub więcej (byłby w wielu parach), to nie było by funkcją, nie każdy element z przeciwdziedziny musi być elementem jakieś pary np. litera nie ma pary, dany element ze zbioru może być elementem wielu par np. litera występuje w dwóch parach: oraz , wykres czyli zbiór nie może zawierać par w których pierwszy element pary nie należy do lub drugi element pary nie należy do np. dla powyższej funkcji to takie pary w zbiorze są niedozwolone: , , , , czy .
Korzystając z notacji tradycyjnej (zwykle używanej) funkcję zapisalibyśmy następująco:
Notacja Funkcje oznacza się na ogół literami (małymi lub dużymi) itd., ale stosuje się również litery greckie np. funkcja dzeta , oznaczenia wieloliterowe np. sin, czy symbole np. iloczyn wektorowy . Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji przyporządkowującej elementom zbioru elementy zbioru , tradycyjnie zapisuje się w poniższy sposób:
.
Wartość funkcji dla argumentu zapisujemy zwykle w formie formuły , która jednocześnie definiuje cały wykres funkcji . Ale stosuje się również indywidualne notacje dla niektórych funkcji np. wartość bezwzględna , silnia , dodawanie (i inne działania), i tym podobne.
Pełny tradycyjny zapis funkcji (zawierający informację o dziedzinie, przeciwdziedzinie i wykresie) jest zgodny z szablonem:
,
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Przykład
Dana jest funkcja określona wzorem ,
tu najpierw podano dziedzinę (liczby naturane) i przeciwdziedzinę (liczby rzeczywiste), a następnie osobno zdefiniowano wykres (zbiór w formalnej definicji) poprzez formułę pozwalającą wyznaczyć każdy jego element - czyli każdą parę , gdzie , oraz (symbol oznacza przynależność do zbioru).
Dokładniej: poprzez podstawienie danego elementu dziedziny pod formułę otrzymamy element przeciwdziedziny , co pozwoli skonstruować parę będącą elementem (punktem) wykresu funkcji, np. dla podstawiamy - otrzymaliśmy więc parę , jeśli podobnie uczynimy dla pozostałych elementów dziedziny to znajdziemy wszystkie punktu (elementy) wykresu.
Bardziej formalny zapis (którego zwykle się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:
Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w tradycyjnej notacji).
Zmienna zależna i niezależna Zapiszmy wykres funkcji w formie formuły . Zmienną , oznaczającą dowolny argument funkcji, nazywamy zmienną niezależną. Zmienną nazywamy zmienną zależną, gdyż jej konkretna wartość zależy od i wybranego .
Zbiór wszystkich funkcji Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się .
Notacja dla funkcji wielu zmiennych Zgodnie z definicja formalną, każda funkcja może przyjmować dokładnie jeden argument (który jest elementem dziedziny). Jednak dziedzina w szczególności może być zbiorem par albo trójek albo w ogólności n-tek. Funkcje o takiej dziedzinie nazywamy funkcjami wielu zmiennych. Do ich zapisu stosuje się skrót notacyjny polegający na omijaniu nawiasów funkcji, podczas podstawiania do niej danej pary/trójki/n-tki. Przykładowo dla funkcji która dla danego punktu płaszczyzny euklidesowej wyznacza jego wysokość tj. , gdy postawimy punkt , czyli argument który jest parą liczb, to zamiast pisać
zapisujemy skrótowo:
Warto wspomnieć, że wynikiem funkcji również jest dokładnie jedna wartość ale może ona być n-tką zawierająca wiele elementów (np. przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb).
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Szczegółowe przykłady
Rozważmy funkcję której dziedzina to (iloczyn kartezjański) czyli każdy element z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. . Przeciwdziedziną zaś niech będzie zaś wykresem . Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje de facto dwie liczby (stanowiące jedną parę oznaczoną przez ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Korzystając z tradycyjnej notacji zapiszemy
,
zwróćmy uwagę, że zamiast zapisano a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest parą liczb). Formalnie powyższa funkcja ma taką postać:
, ( to przedział domknięty wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji , np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1.
. Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzędne x,y,z w przestrzeni 3D (w tym przypadku z=0). Z definicji (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w 3D), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x.
Indywidualna notacja/nazewnictwo dla wybranych funkcji: działań, funkcjonałów, operatorów Jak wspomniano powyżej, stosuje się indywitualną notacje dla niektórych funkcji jednej zmiennej np. wartość bezwzględna , silnia , Potęgowanie itp.
Operacje arytmetyczne są kolejnym przykładem funkcji dla których stosuje się indywidualną notację np. dodawanie liczb naturalnych (do oznaczenia tej funkcji użyto tu znaku "" zamist litery "") z indywidualną notacją w której zamiast pisać piszemy , oraz uwzględniamy szereg specyficznych reguł związanych ze składaniem operacji dodawania z samą sobą i innymi operacjami z uwzględnieniem nawiasów. Przykładowo:
, notacja (lewa strona powyższych równości) jest intepretowana (prawa strona równości) jako odpowiednie złożenie funkcji oraz właśnie ze względu na uwzględnienie owych reguł.
Funkcjonał to funkcja która przyjmuje inną funkcję jako argument i zwraca liczbę jako wynik. Niektóre funkcjonały posiadają indywidualną notację np. funkcjonał (gdzie tu zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych całkowalnych w sensie Riemana na przedziale ) zwracający pole pod wykresem funkcji na przedziale dla danej funkcji , to zamiast pisać piszemy .
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Przykład funkcjonału
, gdzie to zbiór wszystkich funkcji tj. działających z liczb całkowitych w liczby naturalne . Tutaj nie oznacza liczby tylko funkcję, a to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy . Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to funkcjonał.
Operator to funkcja która jako argument przyjmuje pewną funkcję i zwraca inną funkcję. Operatory transformują/zmieniają daną funkcję na inną i często do ich zapisu stosuje się indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera , operator składania funkcji , operator Nabla dla gradientu itp.)
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Szczegółowe omówienie wybranych przykładów w świetle formalnej definicji
, tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję a jako wynik zwraca inną funkcję . Funkcje których argumentami są pewne funkcje a wynikiem inne funkcje (czyli zamieniają/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy operatorami. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. dywergencja , transformata Fouriera etc.
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left" !Szczegóły przykładu
Wartość funkcji , z przykładu, w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji w owym punkcie wymnożonym przez tj. . Z definicji formalnej mamy: . Ponieważ funkcja ma taką samą dziedzinę jak funkcja oraz w formule na y jest użyte tylko w to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo zamiast co skraca notację).
(gdzie oznacza podłogę, to liczby wymierne) funkcja (operator) zmienia funkcję w funkcję . Bardziej formalnie (z definicji) . Przykładowe użycie operatora dla funkcji czyli zapis da w wyniku funkcję .
ta funkcja jest operatorem składania dwóch funkcji oraz który jako wnik zwraca funkcję . Dla tego operatora stosuje się notację taką jak dla działań arytmetycznych tj. . Formalnie
Funkcje różnowartościowe i "na" Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach.
Funkcje używające tej samej formuły do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły (poniżej oznaczono: to liczby rzeczywiste a to liczby rzeczywiste większe od zera): więc z definicji: więc z definicji: więc z definicji: więc z definicji: mamy: (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter: to suriekcja, to bijekcja, k to iniekcja.
Obraz i przeciwobraz