Razem z Joaquimem Serrą badał też problemy swobodnej powierzchni, występujące w wielu zagadnieniach fizyki i techniki. Zasadniczym z nich jest problem gładkości takiej powierzchni. W 1977 roku Luis Caffarelli wykazał, że swobodna powierzchnia jest gładka poza zbiorem punktów osobliwych. Przez następne lata badano charakter tego zbioru. W 2017 roku Figalli i Serra znaleźli jego optymalną charakteryzację. W szczególności, w przypadku 3-wymiarowym pokazali oni, że swobodna powierzchnia jest gładka z wyjątkiem izolowanych punktów osobliwych.
Wyróżnienia Figalli był wielokrotnie nagradzany. Otrzymał m.in.:
2011–2012 – , 2012 – Nagrodę EMS, 2015 – Medal Stampacchia, 2017 – , 2018 – Medal Fieldsa.
W roku 2014 wygłosił wykład sekcyjny na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Seulu. Był plenarnym prelegentem na wielu konferencjach, m.in. w 2019 roku na odbywającej się w Akademii Górniczo-Hutniczej konferencji Dynamics, Equations and Applications (DEA 2019).
W 2016 roku zdobył prestiżowy ERC Consolidator Grant.
Figalli jest członkiem Academia Europaea (od 2019 roku), członkiem zagranicznym (od 2021 roku) oraz członkiem kilku włoskich towarzystw naukowych, m.in.