mały|Zgodnie z twierdzeniem Poincarégo-Hopfa zamknięta orbita może otaczać jedno ognisko, lub dwa ogniska i jedno siodło, nigdy jednak wyłącznie jedno siodło Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (czasem twierdzenie o indeksie Poincarégo) – twierdzenie, które jest używane w topologii różniczkowej.
Twierdzenie Poincarégo-Hopfa czasami jest ilustrowane twierdzeniem o czesaniu kuli, które mówi, że nie ma gładkiego pola wektorowego na sferze, nie mającego węzłów lub ognisk.
Definicja formalna Niech będzie rozmaitością różniczkowalną, wymiaru oraz polem wektorowym na Niech będzie izolowanym zerem i niech będzie otoczeniem dyfeomorficznym z dostatecznie małym żeby nie zawierać innych zer Wtedy indeks w punkcie jest stopniem Brouwera odwzorowania z brzegu w (n-1)-sferę dane przez
Twierdzenie. Niech będzie zwartą rozmaitością różniczkowalną. Niech będzie polem wektorowym na z izolowanymi zerami.