mały|Zgodnie z twierdzeniem Poincarégo-Hopfa zamknięta orbita może otaczać jedno ognisko, lub dwa ogniska i jedno siodło, nigdy jednak wyłącznie jedno siodło Twierdzenie Poincarégo-Hopfa (czasem twierdzenie o indeksie Poincarégo) – twierdzenie, które jest używane w topologii różniczkowej.
Twierdzenie Poincarégo-Hopfa czasami jest ilustrowane twierdzeniem o czesaniu kuli, które mówi, że nie ma gładkiego pola wektorowego na sferze, nie mającego węzłów lub ognisk.
Definicja formalna Niech będzie rozmaitością różniczkowalną, wymiaru oraz polem wektorowym na Niech będzie izolowanym zerem i niech będzie otoczeniem dyfeomorficznym z dostatecznie małym żeby nie zawierać innych zer Wtedy indeks w punkcie jest stopniem Brouwera odwzorowania z brzegu w (n-1)-sferę dane przez
Twierdzenie. Niech będzie zwartą rozmaitością różniczkowalną. Niech będzie polem wektorowym na z izolowanymi zerami. Jeśli ma brzeg, to jest dodatnio proporcjonalne do wektora normalnego do Wtedy zachodzi równość:
gdzie suma przebiega po wszystkich izolowanych zerach a jest charakterystyką Eulera Wyjątkowo użyteczny przypadek zachodzi gdy jest nigdzie znikające, zmuszając
Twierdzenie zostało udowodnione dla wymiaru 2 przez Henriego Poincarégo, a później uogólnione na wyższe wymiary przez Heinza Hopfa.
Zastosowanie dla dwuwymiarowych pól Dla dwuwymiarowych autonomicznych układów dynamicznych to twierdzenie mówi, że zera pola wektorowego zadającego układ wewnątrz cyklicznej orbity (której wnętrze jest diffeomorficzne z a zatem ma ) muszą mieć indeksy sumujące się do jedności. Indeksy hiperbolicznych punktów stabilnych da się w pełni scharakteryzować: Centra: Ogniska: Węzły: Siodła:
Pozwala to na wykluczanie istnienia niektórych orbit poprzez analizę zachowania wyłącznie w okolicy punktów stabilnych.
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna Kategoria:Twierdzenia topologii