na zbiorze z rozważanego ultrafiltru:

Ponieważ relacja jest kongruencją względem zwykłych działań + i · na liczbach rzeczywistych, działania te przenoszą się w standardowy sposób na :

Struktura jest ciałem.

Podciało tego ciała generowane przez elementy postaci

dla ,

jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych

Relacja zdefiniowana wzorem:

jest porządkiem na . Porządek ten jest porządkiem ciągłym.

Liczba hiperrzeczywista jest nieskończenie mała, jeśli

dla

Nieskończenie małą jest, n.p.,

Oczywiście, skoro , dla , to

Jeśli teraz , to dla wszystkich poza skończoną ilością liczb naturalnych, skąd

co implikuje , że .

Odwrotności liczb nieskończenie małych, to nieskończenie duże liczby hiper-rzeczywiste.

Suma i iloczyn dwóch liczb nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Suma i iloczyn dwóch nieskończenie dużych liczb hiper-rzeczywistych jest nieskończenie dużą liczbą hiper-rzeczywistą.

Uwaga. W przypadku ultrafiltru głównego, uzyskana struktura byłaby izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych.

Konstrukcja ciała Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:

.

Działania i są dobrze zdefiniowane na .

Dowód Niech oraz To znaczy, że i Zatem Ponieważ to .

Niech oraz To znaczy, że i Zatem Ponieważ to .