Niech Widać, że oraz Stąd wynika, że co dowodzi stwierdzenia.
Można wykazać przechodniość relacji Niech oraz Widać, że oraz a także, że skąd wynika, że czyli .
Zatem relacja jest liniowym porządkiemPrzy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku: jest liniowym porządkiem na gdy relacja jest przechodnia oraz na Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym oraz multyplikatywnym
Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn. Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż oraz Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że a skoro to .
Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn. Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż oraz Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że a skoro to .
Moduł liczby hiperrzeczywistej Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł jako .
Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.: .
Niearchimedesowość Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa.