Przyjmując bez straty ogólności, że otrzymuje się co oznacza, że zatem jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony..
Przykłady Podgrupy trywialna i niewłaściwa
W dowolnej grupie zbiór jednoelementowy oraz zbiór są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli jest podgrupą właściwą w to czasem używa się oznaczenia Innym jest z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są lub , nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli jest podgrupą w zaś jest podgrupą w to jest podgrupą w
Kryterium bycia podgrupą
Niech będzie podzbiorem liczb całkowitych podzielnych przez Zbiór tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotnościNiech będą liczbami całkowitymi: jeżeli oraz to jeśli to (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik).