Wówczas dla zachodzi nierówność:
ponieważ dla
Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji w kole Rozważmy funkcję
która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element że:
Wynika stąd, że:
Możemy tym samym oszacować funkcję na całej płaszczyźnie:
Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że jest stała, ale wtedy:
też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian ma pierwiastek zespolony.
Przykład innego dowodu Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego
istnieje taka liczba zespolona że
Lemat 1 Jeśli jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to
Dowód Niech
Wówczas
gdzie:
Z ciągłości funkcji wielomianowej oraz faktu, że dla pewnego spełniony jest warunek
o ile tylko Stąd, jeśli
to
Podstawiając dostajemy
dla wszystkich
Ostatecznie:
oraz
gdy
Istnieje więc takie że teza lematu jest spełniona, mianowicie:
Lemat Cauchy’ego Dla każdego wielomianu o współczynnikach zespolonych, dla którego istnieje taka liczba że minimum funkcji jest osiągnięte w kole
Dowód Niech
przy czym Niech ponadto