Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem spełniona jest nierówność Ponieważ koło jest zbiorem zwartym, funkcja przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego spełniającego W szczególności, Zatem jest również minimum globalnym funkcji
Lemat 2 Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek oraz niech będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje taka liczba zespolona że
Dowód Niech i będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej wynika, iż istnieje takie że
o ile Niech będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas
Niech wówczas dla
Dla każdego istnieje które spełnia powyższą równość.
Jeżeli jest takie, że to:
i twierdzenie zachodzi, ale żeby było to musi być czyli:
Lemat d’Alemberta-ArgandaJ.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209.