Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.
W niniejszym artykule
oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.
Warunek konieczny Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:
Jeżeli szereg jest zbieżny, to .
Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu nie istnieje bądź istnieje i jest różna od to szereg jest rozbieżny.
Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.
Przykłady Szereg
jest rozbieżny, gdyż
W przypadku, gdy
warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
mimo że . Szereg
jest jednak zbieżny (zob.