Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.
W niniejszym artykule
oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.
Warunek konieczny Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:
Jeżeli szereg jest zbieżny, to .
Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu nie istnieje bądź istnieje i jest różna od to szereg jest rozbieżny.
Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.
Przykłady Szereg
jest rozbieżny, gdyż
W przypadku, gdy
warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.
mimo że . Szereg
jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również
Warunek Cauchy’ego Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu oznacza zbieżność ciągu sum częściowych
Oznacza to, że szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy .
Zbieżność bezwzględna Szereg nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg
Twierdzenie Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Dowód Załóżmy, że szereg jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby istnieje taka liczba naturalna że dla oraz dowolnego
Z nierówności trójkąta wynika, że
a zatem szereg także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Szeregi o wyrazach nieujemnych Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.
Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.
i takie założenie jest niżej poczynione.
Kryterium porównawcze
Niech
będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność
Wówczas jeżeli szereg jest zbieżny, to szereg jest również zbieżny; jeżeli szereg jest rozbieżny, to szereg jest również rozbieżny.
Wersja graniczna Pod założeniem, jeżeli istnieje granica
gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu . Jeżeli oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
Wersja ułamkowa Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu (a więc z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu ).
Kryterium d’Alemberta
Niech
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna Jeżeli istnieje granica
to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy’ego
Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna Jeżeli istnieje granica
to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.
Kryterium Raabego
Niech
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg rozbieżny.
Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.
Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli dla prawie wszystkich to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna Jeżeli istnieje granica
to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy .
Kryterium Schlömilcha
Niech
Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Kummera (Diniego-Kummera)
Niech będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że
Niech ponadto
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy .
Kryterium Bertranda
Niech
Wówczas szereg jest zbieżny, gdy
szereg jest rozbieżny, gdy .
Wersja graniczna Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg jest zbieżny do pewnego to szereg jest zbieżny, gdy oraz szereg jest rozbieżny, gdy
W przypadku, gdy kryterium nie rozstrzyga.
Kryterium Gaussa
Jeżeli istnieją takie liczby oraz ciąg ograniczony o tej własności, że dla dostatecznie dużych zachodzi związek
to szereg jest zbieżny, gdy lub oraz szereg jest rozbieżny, gdy lub oraz .
Kryterium całkowe
Niech będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto dla każdego Wówczas szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa .
Kryterium Jermakowa
Niech będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych tj. dla pewnego spełniona jest nierówność
to szereg
jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych zachodzi nierówność
to szereg ten jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy’ego zagęszczające
Jeżeli ciąg wyrazów szeregu jest nierosnący to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjnego) szereg można zastąpić szeregiem
dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej .
Kryterium Schlömilcha zagęszczające
Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych
o tej własności, że
dla pewnego oraz wszystkich
Jeżeli ciąg wyrazów szeregu jest nierosnący, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg .
Szeregi o wyrazach dowolnych Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg liczbowy spełnia następujące warunki: dla wszystkich
ciąg jest nierosnący, tj.
to szereg
jest zbieżny.
Kryterium Abela
Niech będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg
jest zbieżny.
Kryterium Dirichleta
Jeżeli ciąg sum częściowych
szeregu jest ograniczony, a jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do to szereg
jest zbieżny.
Szeregi funkcyjne
Niech będzie dowolnym zbiorem oraz niech
będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów
mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.
Niżej
oraz
są dowolnymi ciągami funkcji.
Kryterium Weierstrassa
Jeżeli dla każdej liczby naturalnej istnieje taka liczba że
dla każdego elementu zbioru oraz szereg liczbowy
jest zbieżny, to szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .
Kryterium Abela
Jeśli szereg
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny; istnieje taka liczba że dla prawie każdej liczby naturalnej oraz wszystkich elementów zbioru spełniony jest warunek
to szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .
Kryterium Dirichleta
Jeżeli istnieje taka liczba dodatnia że dla wszystkich liczb naturalnych oraz wszystkich elementów zbioru
dla każdego ze zbioru ciąg jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do
to szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze .
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Analiza – kryteria zbieżności szeregów, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].