Hierarchia Grzegorczyka Zdefiniowane są funkcje gdzie jest liczbą naturalną. Zdefiniowane jest i itd. jest funkcją dodawania, jest funkcją dwuargumentową, która podnosi parametr do kwadratu, po czym zwiększa wynik o 2. Dla większych od 1 definiujemy: czyli -owa iteracja funkcji z podanym argumentem 2. Dalej zdefiniowany jest który można zapisać jako funkcję .
Przykłady Zapis w szybko rosnącej hierarchii Wartość wynik ma ponad 121 milionów cyfr.
Z przykładu numer trzy można wysnuć zasadę: natomiast z przykładu numer cztery
Dla funkcji typu można powiedzieć, że wyniki są porównywalne (zazwyczaj większe) do co wynika z rekurencji kolejnych funkcji.
Liczby porządkowe do Pierwszą liczbą porządkową w szybko rosnącej hierarchii jest mająca do siebie przypisany zbiór tzn. (-ty element zbioru). Przykład: Funkcja przewyższa każdą funkcję dla .
Koleją liczbą porządkową jest czyli zbiór: funkcję z tą liczbą porządkową definiujemy następująco: na przykład
Dalej jest kolejno: np.: oznacza to, że liczba Grahama wynosi około które jest znacznie mniejsze od Obliczanie kolejnych liczb naturalnych dodanych do przebiega podobnie.
Kolejnym zbiorem jest: Obliczanie z użyciem tego zbioru wygląda następująco: np. Kolejnym zbiorem możliwym do utworzenia jest itd.