Dwa miesiące później brała udział w demonstracji w Kijowie po samospaleniu działaczki prodemokratycznej Marii Wietrowej i została aresztowana. Nie jest pewne, czy to warunki uwięzienia czy dziedziczna podatność nadwerężyły jej stan psychiczny; kiedy syn miał pięć lat została na stałe umieszczona w zakładzie dla umysłowo chorych, gdzie zmarła około 1910 roku. Ojciec Aleksandra porzucił rodzinę, wyjechał na dalsze studia i także zmarł w 1910 roku.
Młody Szargiej wychowywał się z babcią i jej mężem w Połtawie. W latach 1910–1916 uczył się w drugim połtawskim gimnazjum męskim, które ukończył uzyskując srebrny medal za biegłość. Szargiej był zafascynowany książkami ojca na temat fizyki i matematyki, i wykazywał się dużymi umiejętnościami w tych dziedzinach; już w szkole średniej zainteresowała go problematyka lotów międzyplanetarnych.
Szkoła wyższa i I wojna światowa Szargiej zapisał się w 1916 na wydział mechaniczny Politechniki w Piotrogrodzie. Z wybuchem I wojny światowej został powołany do wojska i ukończył tam szkołę oficerów. Podczas służby wojskowej na Froncie Kaukaskim Szargiej wypełnił cztery zeszyty swoimi pomysłami na lot międzyplanetarny.