Podobnie suma wszystkich koszyków produkcyjnych plus łączne wyposażenie początkowe, jest wypukłe, ponieważ każdy jest wypukły. Wiadomo również, że przecięcie i nie istnieje, ponieważ gdyby było inaczej, to oznaczałoby to istnienie pakietu, który jest ściśle preferowany względem przez wszystkich i wszyscy mogliby sobie na niego pozwolić. Wyklucza to Pareto-optymalność
Te dwa wypukłe, nieprzecinające się zbiory pozwalają nam zastosować twierdzenie hiperpłaszczyzny oddzielającej. Twierdzenie to stanowi, że istnieje wektor ceny i liczba rzeczywista taka, że dla każdego i dla każdego Innymi słowy, istnieje wektor ceny, który definiuje hiperpłaszczyznę, która doskonale rozdziela te dwa wypukłe zbiory.
Następnie twierdzimy, że jeżeli dla każdego to Wynika to z lokalnego nienasycenia preferencji: musi istnieć koszyk dowolnie blisko który jest ściśle preferowany względem i dlatego jest elementem więc Obliczywszy granicę: nieostra nierówność nie zostaje zmieniona, więc Innymi słowy, jest w otoczeniu
Stosując tę relację, widać, że dla Wiadomo też, że więc również Łącząc te dwie nierówności, uzyskujemy Możemy użyć tego równania, aby pokazać, że pasuje do definicji quasi-równowagi cenowej z transferami.
Ponieważ oraz to wiadomo, że dla każdej firmy j: dla
co implikuje Podobnie wiadomo, że: dla