Przykłady 1) Interpolacja liniowa:
2) Interpolacja kwadratowa:
W przypadku szczególnym, gdy węzły są równoodległe:
można wprowadzić nową zmienną i wtedy
Wielomian można utworzyć jako iloczyn elementów wiersza macierzy
Różnice uogólnione Różnicowe podejście do interpolacji funkcji o wartościach danych na zbiorze węzłów równoodległych
można uogólnić na przypadek węzłów, które nie są równoodległe.
W tym celu wprowadza się pojęcie różnicy uogólnionej (pierwszego rzędu) zdefiniowanej jako
przy czym
Na przykład
Analogicznie określa się różnice uogólnione drugiego rzędu
Na przykład
Ogólnie
Ważną własnością różnic uogólnionych jest ich symetria względem swoich argumentów. Na przykład
lub
Kolejne różnice uogólnione najwygodniej jest obliczać według schematu tablicowego x y rząd 1 rząd 2 rząd 3 rząd 4
Uogólniona formuła Newtona Lemat: Jeżeli funkcja jest wielomianem -tego stopnia, to jego różnica uogólniona rzędu jest tożsamościowo równa zeru, tzn.
dla dowolnego zbioru liczb różniących się od siebie.
Dowód: Wielomian jest wielomianem, który zeruje się w punkcie Ponieważ ten punkt jest pierwiastkiem wielomianu więc zgodnie z twierdzeniem Bezout’a wielomian ten dzieli się bez reszty przez dwumian Możemy więc napisać
przy czym jest wielomianem stopnia
I dalej
c.n.d.