Poszukiwaną wartość oblicza się według wzoru
W przypadku, gdy węzły nie są równoodległe wartość można obliczyć, stosując formułę Newtona o postaci
Wyznacznik charakterystyczny macierzy Wyznacznik charakterystyczny (wiekowy) macierzy jest funkcją parametru którą można interpolować na zbiorze węzłów równoodleglych za pomocą formuły Newtona o postaci
gdzie: jest różnicą skończoną i-tego rzędu funkcji
Po uwzględnieniu tożsamości
otrzymujemy wzór Markowa
W przypadku, gdy wzór ten przybiera postać
Różnice dwoiste W przypadku, gdy funkcja dwu zmiennych jest określona za pomocą tablicy jej wartości można zdefiniować dwoiste różnice skończone pierwszego rzędu
i wyższych rzędów
przy czym
Na przykład
Dwoista formuła Newtona Dla funkcji dwu zmiennych można zbudować wielomian interpolacyjny Newtona taki, że
Wielomian ten ma następującą postać
Podstawiając otrzymujemy
a na podstawie różnic pierwszego rzędu
po podstawieniu
Stąd otrzymujemy
Ze wzorów na różnice drugiego rzędu
wynika, po podstawieniu że
a stąd
Ostatecznie wielomian interpolacyjny przybiera postać
Dla wygody obliczeń wprowadza się nowe zmienne
i wtedy
Przypisy B.P. Demidowicz, I.A. Maron, Metody numeryczne, PWN, Warszawa 1965. W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.
Kategoria:Interpolacja Kategoria:Algebra liniowa