Był członkiem rzeczywistym Polskiej Akademii Nauk, członkiem czynnym Polskiej Akademii Umiejętności i członkiem zagranicznym Francuskiej Akademii Nauk, Amerykańskiej Akademii Nauk oraz Academia Europea. Zasiadał w Komitecie Bioetyki PAN. mały|Grób prof. Andrzeja Tarkowskiego na cmentarzu Wawrzyszewskim Uroczystości pogrzebowe miały miejsce 30 września 2016 roku na cmentarzu Wawrzyszewskim w Warszawie.
Odznaczenia, nagrody i wyróżnienia Postanowieniem z 18 kwietnia 2012 został przez prezydenta Bronisława Komorowskiego odznaczony Krzyżem Komandorskim z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski.
Nagroda Fundacji Nauki i Techniki Japonii – „Nagrodą Japońską” (często nazywana japońskim Noblem, Tarkowski jest jedynym polskim laureatem, otrzymał ją za swoje badania w 2002 roku) Nagroda im. Alberta Bracheta Belgijskiej Akademii Królewskiej Polska Nagroda Państwowa I stopnia Nagroda Fundacji im. Alfreda Jurzykowskiego (USA) Nagroda International Embryo Transfer Society Nagroda Fundacji na rzecz Nauki Polskiej (2013)
W 2000 Tarkowski uzyskał tytuł doktora honoris causa Uniwersytetu Jagiellońskiego, a w 2005 – Uniwersytetu Medycznego w Łodzi.
Inne zainteresowania Poza pracą zawodową zajmował się fotografią.