oraz .
Działania zgodne z relacją równoważności
Niech będzie relacją równoważności w zbiorze -argumentowe działanie w nazywa się zgodnym z relacją jeśli dla każdych .
W szczególności gdy jest działaniem jednoargumentowym oznacza to, że dla każdych
a gdy jest działaniem dwuargumentowym, to
Innymi słowy działanie w zbiorze jest zgodne z relacją jeśli daje równoważne wyniki na równoważnych argumentach.
Kongruencje Relację równoważności w algebrze nazywa się kongruencją jeżeli dla każdego działanie jest zgodne z relacją .
Algebra ilorazowa
Dysponując kongruencją na algebrze można skonstruować algebrę podobną do Niech będzie zbiorem ilorazowym. Algebrę definiujemy jako
gdzie elementy wyróżnione są skonstruowane jako klasy abstrakcji elementów względem relacji tzn.
a działania są zdefiniowane wzorami:
Aby działania były dobrze zdefiniowane muszą nie zależeć od wyboru reprezentantów Jest to równoważne żądaniu aby dla każdych
co z kolei jest równoważne żądaniu aby relacja była kongruencją.
Homomorfizm algebr Homomorfizmem algebr podobnych i nazywa się funkcję taką, że
dla W szczególności, gdy są działaniami dwuargumentowymi oznacza to
Alternatywne definicje algebry