jest funkcją meromorficzną z biegunami rzędu pierwszego w Tym samym jest analityczna dla Stąd, dla i gałęzi głównej transformata odwrotna daje
Powyższa całka jest znana jako całka Cahena-Mellina.
Funkcje wielomianowe Całka
nie jest zbieżna dla żadnej wartości więc z tego powodu transformacja Mellina nie jest zdefiniowana dla funkcji wielomianowych zdefiniowanych na całej dodatniej półosi liczb rzeczywistych. Jeśli jednak tego typu funkcje będziemy jako zero na różnych odcinkach osi rzeczywistej, możemy obliczyć transformację Mellina. Na przykład jeśli
to
A zatem ma biegun rzędu pierwszego w i dlatego jest określone dla Podobnie, jeśli
to
A zatem ma biegun pierwszego rzędu w i dlatego jest określone dla
Funkcje wykładnicze Niech i zdefiniujmy funkcję wzorem Wtedy
Funkcja dzeta Transformacji Mellina można użyć do wyprowadzenia jednego z podstawowych wzorów funkcji dzeta Riemanna. Niech Wtedy mamy
Stąd
Uogólniona funkcja gaussowska Niech i rozważmy funkcję o wzorze Wtedy
W szczególności podstawienie daje następujący wzór na wartości funkcji gamma dla argumentów większych od 1: