Można powiedzieć, że przekształcenie Legendre’a to zmiana funkcji i zmiennej w taki sposób, że stara pochodna jest traktowana jako nowa zmienna, a stara zmienna staje się pochodną otrzymanej w transformacji funkcji.
Wyrażenie różniczkowe
w związku z tożsamością można zapisać jako
Jeśli teraz przyjąć, że
co jest transformacją Legendre’a to
Ponadto, tak jak opisano wcześniej, nowa zmienna jest równa starej pochodnej, a stara zmienna jest równa nowej pochodnej:
Definicje mogą się różnić znakiem Jeśli zmiennych funkcji wyjściowej jest więcej niż jedna, transformację Legendre’a można rozważać na dowolnym ich podzbiorze.
Definicja Definicja analityczna Transformata Legendre’a funkcji zadanej na podzbiorze przestrzeni liniowej nazywamy funkcję określoną na podzbiorze przestrzeni sprzężonej zgodnie ze wzorem:
Gdzie Jest wartością funkcjonału liniowego na wektorze W przypadku przestrzeni Hilberta jest to zwykły iloczyn skalarny. W szczególnym przypadku funkcji różniczkowalnej na otwartym podzbiorze przejście do jej transformaty Legendre’a odbywa się za pomocą wzorów:
przy czym muszą być wyrażone poprzez z drugiego równania.