Jeśli jest funkcją wszędzie różniczkowalną (poza być może przeliczalnie wieloma punktami), to pochodna jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila, a jej całka nieoznaczona Henstocka-Kurzweila to Jest to mocne twierdzenie, gdyż nie musi być całkowalna w sensie Lebesgue’a. Innymi słowy, otrzymujemy prostszą i bardziej satysfakcjonującą wersję podstawowego twierdzenia rachunku całkowego: każda funkcja różniczkowalna jest, z dokładnością do stałej, całką swojej pochodnej:
Odwrotnie, twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu obowiązuje także dla całki Henstocka-Kurzweila: jeśli jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na oraz
wtedy równość zachodzi prawie wszędzie na (w szczególności jest różniczkowalna prawie wszędzie).
Całka McShane’a Całkę Lebesgue’a na prostej można również zmodyfikować w podobny sposób.
Jeśli weźmiemy powyższą definicję całki Henstocka-Kurzweila i pominiemy warunek
to otrzymamy definicję całki McShane’a, która jest odpowiednikiem całki Lebesgue’a. Warto zwrócić uwagę na to, że warunek
nadal zachodzi, jedynie dodatkowo żądamy, aby żeby było dobrze określone.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Kurzweil-Henstock integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Całki