Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:
Rozwinięcia w szeregi potęgowe (1) Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że
dla każdego rzeczywistego
(2) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia (ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów)
gdzie oznacza silnię podwójną liczby
(3) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia
ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów
Przybliżenia za pomocą funkcji elementarnych (1) Funkcje błędu można dobrze przybliżyć przez podobnie wyglądające funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. i
oraz
Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.
(2) Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:
gdzie:
jest przybliżeniem Padégo rzędu zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa;