Wobec tego także pierścień ilorazowy powstały z podzielenia pierścienia wielomianów przez jego ideał maksymalny będzie ciałem. Przyjąć można na jego oznaczenie Co więcej, będzie on zawierał podciało izomorficzne z wyjściowym ciałem Należy dalej rozpatrzeć element wzięty z Po podstawieniu do wielomianu otrzymuje się to ostatnie zaś należy do ideału generowanego przez Tak więc otrzymuje się tu element zerowy ciała element ten stanowi wobec powyższego pierwiastek wielomianu .
Idąc dalej tym samym tokiem myślenia, poprzez indukcję ze względu na stopień dochodzi się do wniosku, że istnieć musi takie rozszerzenie które zawiera nie jeden, ale wszystkie pierwiastki W takim wypadku wielomian rozłożyłby się w tym ciele na iloczyn wielomianów liniowych z tego ciała Mianowicie jako założenie indukcyjne wziąć należy, że jest tak dla wielomianów stopnia mniejszego od n. Dla wielomianów pierwszego stopnia teza ta jest już dowiedziona (mają bowiem jeden jedyny pierwiastek). Z powyższych rozważań wynika, że dla wielomianu o stopniu istnieje rozszerzenie ciała obejmujące pierwiastek tegoż wielomianu. Skoro tak, to w ciele wielomian rozłożyć można przynajmniej na 2 czynniki: przy czym Jak widać, pierwszy z nich jest wielomianem liniowym, drugi natomiast jest wielomianem stopnia mniejszego od co podpada po założenie indukcyjne.