Był synem Wincentego (rzemieślnika, pracującego jako mistrz szewski) i Zofii z domu Haraszkiewicz (1823-1909). Miał rodzeństwo. Dom Bandurskich leżał przy zbiegu ulicy Tadeusza Kościuszki i Szlacheckiej. Spotykali się w nim działacze niepodległościowi. Podczas powstania styczniowego w 1863 w tym domu odbywały się spotkania dotyczące losu walczących, zaś w zrywie niepodległościowym brał udział jego starszy brat, matka była kurierką Rządu Narodowego, wraz z innymi kobietami karmiła powstańców, po upadku udzielała schronienia uciekinierom z insurekcji i roztaczała nad nimi opiekę oraz działała w Komitecie Żeńskim przy klasztorze Bernardynów. Jego brat Leopold w latach 70. i 80. był nauczycielem w szkole w Zabużu Sokalskim (zm. w 1910)).

Od dzieciństwa Władysław Bandurski wykazywał religijność i pobożność, codziennie uczęszczał z matką na mszę św. i nieszpory, odprawiał nabożeństwo majowe przed ołtarzykiem stworzonym w domu, modlił się przed obrazem Matki Bożej Sokalskiej w kościele Matki Bożej Pocieszenia w Sokalu (ojców Bernardynów) oraz pielgrzymował do pobliskiego Tartakowa, gdzie czczony był obraz Matki Bożej Tartakowskiej. Udzielał się jako ministrant u boku miejscowego proboszcza ks. Antoniego Szeligowskiego.