W ten sposób redukujemy dwa składniki w naszej sumie do jednego, a ponieważ , to
z charakteryzacji przedziału na , tj. dla dowolnych oraz takich, że , zachodzi można do wyrażenia zastosować definicję wypukłości .
Otrzymujemy stąd szacowania
gdzie pierwszą nierówność uzyskujemy z zastosowania założenia indukcyjnego (bo na mocy 1. powyżej, oraz suma wszystkich współczynników to z założenia 1), a drugą z wypukłości .
Zauważmy, że ostatnie wyrażenie w powyższym szacowaniu jest szukaną sumą:
.
A zatem otrzymaliśmy
co kończy dowód indukcyjny.
Funkcja wklęsła Aby udowodnić nierówność gdy jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:
co jest równoważne nierówności
Uwagi W szczególności dla nierówność przyjmuje postać:
Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.