W przypadku, gdy iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora
W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”
gdzie nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a to ket.
Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.
Bra i kety jako macierze Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci
Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:
Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:
ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:
otrzyma się:
Bra jako operator liniowy na ket
Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.
Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.