Pojęcia topologiczne czy analityczne, takie jak ciągłość czy różniczkowalność, nie przydają niczego w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru – przekształcenia kwadratowe między nimi są ciągłe i gładkie na całej dziedzinie; sytuacja zmienia się diametralnie, jeśli rozpatruje się przestrzenie nieskończeniewymiarowe, zob. osobną sekcję.
Wybór baz
Jeśli są przestrzeniami kwadratowymi skończonego wymiaru, to przekształcenie kwadratowe między nimi można przedstawić za pomocą macierzy przy czym: wybranie bazy w przestrzeni oraz bazy w przestrzeni prowadzi do wskazania izomorfizmów oraz w przestrzenie współrzędnych (które są przestrzeniami kwadratowymi) odwrotnie, każda macierz typu opisuje przekształcenie kwadratowe a dzięki wyborom baz również przekształcenie
Jeśli jest macierzą przekształcenia kwadratowego a macierz jednokolumnowa odpowiada wektorowi przestrzeni Macierz może być ona traktowana jako wektor współrzędnych, nazywany często wektorem kolumnowym, wektora wspomniana odpowiedniość jest izomorfizmem odpowiednich przestrzeni kwadratowych: przestrzeni macierzy jednokolumnowych i współrzędnych (zob. przestrzeń współrzędnych)., to: działanie przekształcenia kwadratowego na wektor opisuje się jako potęgowanie macierzy przez macierz jednokolumnowa tj.