Równanie funkcyjne Cauchy’ego to równanie funkcyjne zadane wzorem:
Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy addytywną. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze liczb wymiernych są tylko funkcje liniowe postaci dla pewnej liczby wymiernej W zbiorze liczb rzeczywistych dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z aksjomatu wyboru. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków: funkcja jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła w przynajmniej jednym punkcie, funkcja jest ograniczona w pewnym przedziale, funkcja jest monotoniczna w pewnym przedziale.
Rozwiązania w liczbach wymiernych Twierdzenie: Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.
Dowód: Wstawiając do równania otrzymujemy, że skąd wynika Zatem bowiem
Dla zachodzi
co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje dla Wstawiając w miejsce otrzymujemy równość z której wynika
W takim razie, oznaczając dla oraz po podstawieniu otrzymujemy tezę, bowiem .
Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych Ciągłość Twierdzenie: Jeśli funkcja spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.