Dowód: Niech będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego zachodzi
Gdy to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa
Funkcja jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego zachodzi
gdzie liczby a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że Funkcja jest więc ciągła.
Ograniczoność Twierdzenie: Jeśli funkcja spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.
Dowód: Niech funkcja spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale gdzie Funkcja jest w takim razie ograniczona również w przedziale bowiem a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie Dla zachodzi zatem
Przy prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem ale z drugiej strony więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową.