Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych zachodzi a także
Tak określona funkcja jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie ma stałą wartość dla każdego Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony.
Własności nieliniowych rozwiązań Twierdzenie: Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest gęsty w
Dowód: Bez straty ogólności załóżmy, że (jeśli i to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie dla Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie że czyli dla pewnego Weźmy dowolne koło o środku w punkcie i promieniu gdzie (jest to wystarczające, ponieważ jest gęste w ). Niech i będzie taką liczbą wymierną, że Ponadto niech będzie taką liczbą wymierną, że Weźmy Wtedy:
Punkt należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.
Dla dowód wygląda podobnie.
Oznaczamy oraz dobieramy w ten sposób, aby spełniały
Podstawiając otrzymujemy Zatem
W takim razie punkt należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy
Przypisy
Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Równania funkcyjne